[原创]关于十二平均律的理性推导

lordsidious

首先说一个问题，本人在详细思考了律制之后，从数学逻辑上推导十二平均律。现将其过程分享给大家，希望对大家有所帮助。


一、共振与频率
首先我们先解释一个问题，为什么有的时候你会感觉到两个同时发出的声音更和谐。肯定有人会说，因为共振呗！其实里面的物理原理没这么简单。先说一个最简单的例子，可能很多人都听过：当年称霸整个欧洲的拿破仑率领他的军队通过一座小桥。军队喊着“121”的号子齐步走上小桥。突然，桥塌了，n多士兵掉到了河里。不信你看现在军训之后，一旦通过什么天桥之类的地方，教官肯定让大家便步走。这就是因为拿破仑的前车之鉴。这里的问题在于齐步走的频率和桥的固有频率发生了共振。其实，物体本身是有一个固定的频率的，它按照这个固定的频率一直在震动，不过通常情况下，人是不会觉察出来的。那么我们看看如果外加一个震动会出现什么情况。

这个图就非常明白地告诉了我们会发生什么现象。
红色的是y=sin(x)，蓝色的是y=sin(2x)，假设两者的振幅是一样的。虽然两者的频率差了1倍，但是共同作用的结果是震动的幅度几乎翻了一翻。学过三角函数的朋友们应该知道这个道理，两者的频率如果是倍频关系，就是一个频率是另一个的整数倍数，叠加的结果就会使震动幅度增加的越多。如果不是整数倍，那么效果就会差很多。
我们假设红色的是桥的震动，而蓝色的是人的震动。有一个人在桥上走的情况，就是上面的图。如果桥上同时走两个人会怎么样呢？（注意！我下面指的是齐步走）

黑线是只有一个人的情况，蓝线是两个人，红线是十个人。这个情况可非常恐怖了。振幅随着人数的增加迅速增长。大家注意，桥的固有频率的振幅其实不是很高，就算桥的频率没有和人行进的频率产生倍频的关系，但毕竟人多力量大，叠加的结果其实也差不多，不信大家自己吧y=sin(x)随便改成一个三角函数，做出来的图跟上面的那个没什么区别。士兵们在行进的过程中传达给桥的能量是和振幅正相关的。那么桥上的人越多给出的能量就越大，一旦这个能量超出了桥的承受范围，哼哼！那就有好戏看了。

这里同时也说明了一个问题，音乐中的共振关系，倍频的时候总是让人感到更和谐，更亢奋，就是因为振幅的叠加造成的。

二、十二平均律的设计
关于十二平均律，我们还是不要管是哪位前辈发现或者发明的了。首先一个问题，既然国际的标准是A=440Hz，那么我们不妨用A做例子说说这个问题。从一个A到下一个听着非常爽非常和谐的位置一定是A的倍频，而A的倍频里面最和谐的一定是A的2倍频和2半频——880Hz和220Hz。在十二平均律里面把这个定为一个八度。八度的概念一会再说。

为什么要设计十二平均律呢，其实就是为了转调方便。大家知道自然音阶是由7个音组成的，我们暂且使用它们的音名CDEFGAB。然而要想自由转调可不是很容易，因为这7个音之间的间隔是不一样的。好比1,2,4，和2相比1是一半；和4相比2是一半。如果拿2当1的话，1:2:4=2:4:8。正好谁都用上了。相反，如果是1,2,3，和2相比1是一半；和3相比2可不是一半，如果拿2当1的话，1:2:3=2:4:6，这样3就用不上了。我们知道自然音阶之间是全全半全全全半的关系，如果半音作为一个单位的话，这之间刚刚好是12个单位。相反，如果我们用D当做dou的话，还要保证自然音阶的相对关系，那么就不可能像上面的例子里的1,2,4一样，继续往后延伸所有的数字都能用得上。这样在D大调的时候就不可能用到所有C大调的音。经过循环计算，还是得分成12份。

这样说来所有的音之间的关系都确定了，我们假设相邻的音之间的频率比是k。注意，音和音之间的差别不是频率差而是频率比！这个可以参考上面的共振原理。我们假设从一个C开始的比例关系是：
 
这里面的k就是十二平均律的比例关系。那么下一个话题也是非常容易的了。

三、度的概念
引入度的概念是在自然音阶中，把一个音到另一个音之间的音程叫度。自己到自己是一度，到第二个音叫二度，后面以此类推，到下一个本音叫八度。然而，其中的二度、三度等等一直到七度都不太一样，例如二度就有全音和半音之分。这样，我们从公式来看如下：
k的0次方：纯一度，自己到自己
k的1次方：小二度，半音
k的2次方：大二度，全音
k的3次方：小三度，一全音+一半音
k的4次方：大三度，二全音
k的5次方：纯四度，二全音+一半音
k的6次方：增四度，三全音；或减五度，二全音+二半音
k的7次方：纯五度，三全音+一半音——注意大约等于1.4983，非常接近1.5
k的8次方：小六度，三全音+二半音
k的9次方：大六度，四全音+一半音
k的10次方：小七度，四全音+二半音
k的11次方：大气度，五全音+一半音
k的12次方：纯八度

这里度数的转化也很好理解，比如纯四度翻上去是纯五度，其实总共翻了一个八度，就是k的12次方。那么假如说一个是k的n次方，那么另一个对应的一定是k的12-n次方。
 
这样里面的转换就很方便了。

四、升降号
可能有的朋友会说，五线谱里面的升降号记起来太麻烦了。是什么调的也非常难记。 其实有个简单的方法。
先说升号：升号里面绝大部分是某调，比如A调、B调，绝对不会出现降某调，只有一个是升F调。
看谱最前面的升号，最右边的一个升号的音往上找半个音，就是这个音的调。
比如：一个升号，#F，往上走一个半音就是G，那么一个升号就是G调。
两个升号，右边的是#C，往上走一个半音就是D，那么一个升号就是D调。
三个升号，右边的是#G，往上走一个半音就是A，那么一个升号就是A调。
四个升号，右边的是#D，往上走一个半音就是D，那么一个升号就是E调。
五个升号，右边的是#A，往上走一个半音就是B，那么一个升号就是B调。
六个升号，右边的是#E，往上走一个半音就是#F，那么一个升号就是#F调。

降号：降号里面绝大部分是降某调，比如bB调，bE调，只有一个是正常调——F调。
看谱前面的降号，右数第二个就是相应的调。
一个降号，bB，是F调
两个降号，bB和bE，上一个是bB，所以是bB调
三个降号，bB和bE和bA，上一个是bE，所以是bE调
四个降号，bB和bE和bA和bD，上一个是bA，所以是bA调
五个降号，bB和bE和bA和bD和bG，上一个是bD，所以是bD调
六个降号，bB和bE和bA和bD和bG和bC，上一个是bG，所以是bG调

到这里十二平均律的相关数学关系都推导完了，希望对大家有所帮助。

[此贴子已经被作者于2011-3-7 21:30:38编辑过]

lordsidious

已经写完了，大家回帖吧。

[此贴子已经被作者于2011-3-7 21:30:55编辑过]

鱼儿

写完授精。

12345677654321

把几个“那么一个升号就是”改一下吧。好文。

jonnykan

不错，学习一下，挺有用。

wyhwyh123cool

不错！！！！！！！！！！！！！！

CairneH

楼主关于共振的理解是有问题的，首先固有频率并不是说这个物体一直按照这个频率在振动，它没必要振动，停着也行。当策动力的频率和其固有频率一样它依然会共振。固有频率仅仅和其结构有关而和其是否运动没有关系。简单的来讲你随便找一个弹簧振子，它的振动频率一定是确定的，不论它的振幅有多大。 还有一个巨大的错误就是楼主把共振会产生很大振幅的响应归结于能量的叠加，这是不完全正确的。如果没有结构阻尼，即使策动力大小极其微小，共振的响应也是无穷大。为什么要达到一定的能量才能产生破坏性的结果，完全是因为结构阻尼而造成的，和单纯的叠加无关。 楼主如果有兴趣可以参考一下大学物理关于谐振子一段的讨论，不过呢那上面并没有给出推导出共振方程的过程。我这里给出，要有一定的高数基础大家耐性看。 我们知道，我们分析一个问题，并不一定需要整个解集，因为每一个解都有一定的固有形式。所以我们只要分析其中某一个特解就可以了，这样也可以简化计算。然后我们再作一个假设，为了便于分析，我们也假设这个力对时间的函数是一个余弦函数。 我们就可以得到m(d^2x)/(dt^2)+kx=F(t)=Fcos(ωt+φ) (这里的ω代表的是力的角频率，这个频率对于振子来说应该有一个相同的作用，所以振子振动体现出的频率中也可以表示成这个角频率的余弦函数形式，F表示这个力的函数的振幅即函数的模) 我们用已经学到过的数学方法，首先假设我们的解的复数形式为xe^i(ωt+φ)，再来我们设x*=xe^iφ（*表示x是一个复数）于是我们有解为x*e^iωt，同理我们可以把F(t)写成F*e^iωt 我们把这个解带入原方程我们得到： m(iω)^2x*e^iωt+kx*e^iωt=F*e^iωt 我们把e^iωt消去得到m(iω)^2x*+kx*=F* 带入k=mω'^2 我们得到x*=F*/[m(ω'^2-ω^2] (这里的ω'是固有频率) 好了这样我们就得到了一个精彩的结论，当ω'=ω（也就是受迫振动的策动力频率和固有频率相等的时候）时我们的x*的模有一个最大响应。事实上在这里是无穷大，这是因为这不是一般的模型，一般的模型有阻尼，而这里没有，所以呵呵…… 还是先说一下什么是阻尼，首先阻尼不是阻力，而是一种阻力，考虑一种有粘滞性的介质，当物体在其中运动时会受到粘滞阻力，当速度不大不小时，它所受的阻力和速度成正比；不过如果速度达到一定程度，有可能阻力会和速度的二次方甚至更高次方成正比。我们把成正比的情况下的阻力叫做阻尼。 于是我们可以在原来的方程中补充一项: m(d^2x)/(dt^2)+γdx/dt+kx=F(t)=Fcos(ωt+φ) (f=γdx/dt) 我们再来解一下这个方程m(iω)^2x*e^iωt+γ(iω)x*e^iωt+kx*e^iωt=F*e^iωt 同样消去e^iωt：m(iω)^2x*+γ(iω)x*+kx*=F* 带入k=mω'^2 ：我们得到 x*=F*/[m(ω'^2-ω^2)+γ(iω)] 很明显，我们发现当ω'=ω时x*有极大值[x*]max=F*/γ(iω)，这个值不是无穷大，于是在振幅和固有频率的关系中有一个峰值。这就是共振图线。

神秘园

ls的大爷，我学过复变函数、学过信号与系统、学过线性系统，但是我在理解你的回复时产生强烈的抵触情绪，因为我正在听音乐，我发现我还没有办法游离于感性和理性之间，等哪天耳朵清净了，再来拜读~

wangzy401

你已摸到边，尚未入厅堂。